[통계] 이항 분포 분산 증명; 이항분포분산공식V(X) = npq증명; 이항 분포 E[X(X-1)] 증명; 이항분포표준편차공식

이산 확률 분포의 대표격인 이항 분포는 여러 가지 면에서 편리한 점이 많습니다. 그 중에서 가장 큰 장점은 기대치와 분산 계산을 간단한 공식으로 편하게 계산할 수 있다는 것입니다. 이산 확률 분포의 대표격인 이항 분포는 여러 가지 면에서 편리한 점이 많습니다. 그 중에서 가장 큰 장점은 기대치와 분산 계산을 간단한 공식으로 편하게 계산할 수 있다는 것입니다.

일반 통계에서 분산 공식, 표준 편차 공식의 의미는 다음 링크를 참조! 일반 통계에서 분산 공식, 표준 편차 공식의 의미는 다음 링크를 참조!

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이항분포 B(n,p) 공식과 설명은 아래 링크! 이항분포 B(n,p) 공식과 설명은 아래 링크!

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이항 분포의 기댓값(평균) 공식 증명은 아래 링크! 이항 분포의 기댓값(평균) 공식 증명은 아래 링크!

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그럼 이항분포의 분산 공식 V(X) = npq를 증명해 봅시다! 먼저 E[X(X-1)] 식을 계산합니다. 이항정리를 이용하기 위해서 X(X-1)님의 기대치를 먼저 계산하는 것입니다. 전체 코스는 다음과 같습니다. E[X(X-1)] = E[X2 – X] = E(X2) – E(X)를 먼저 계산한 다음 V(X) = E(X2) – [E(X)]2 = E[X(X-1)] + E(X) – [E(X]2를 이용하여 분산 공식을 유도합니다. 그럼 이항분포의 분산 공식 V(X) = npq를 증명해 봅시다! 먼저 E[X(X-1)] 식을 계산합니다. 이항정리를 이용하기 위해서 X(X-1)님의 기대치를 먼저 계산하는 것입니다. 전체 코스는 다음과 같습니다. E[X(X-1)] = E[X2 – X] = E(X2) – E(X)를 먼저 계산한 다음 V(X) = E(X2) – [E(X)]2 = E[X(X-1)] + E(X) – [E(X]2를 이용하여 분산 공식을 유도합니다.

먼저, E[X(X-1)] 식을 계산합시다。 $\normal{1}{E\left[X\left(X-1\right)\right]}$E[X(X−1)]$=\sum _{k=0}^nk\normal{1}{\left(\normal{0}{k}-1\right)\times P}\left(X=k\right)$=n∑k=0k(k−1)×P(X=k)$=\sum _{k=2}^nk\normal{1}{\left(\normal{0}{k}-1\right)\times P}\left(X=k\right)$=n∑k=2k(k−1)×P(X=k)$=\sum _{k=2}^nk\left(k-1\right)\combi{\times \ }_n\combi{\normal{1}{C}}_k\ p^kq^{n-k}$=n∑k=2k(k−1)× nCk pkqn−k$=\sum _{k=2}^nk\left(k-1\right)\times \frac{n！}{k!\left(n-k\right)！}p^kq^{n-k}$=n∑k=2k(k−1)×n!k!(n−k)!pkqn−k$=\sum _{k=2}^n\frac{n！}{\left(k-2\right)！\left(n-k\right)！}p^kq^{n-k}$=n∑k=2n!(k−2)!(n−k)!pkqn−k$\ \ \ \ \ 치환하면\ \left(m=k-2\right)$ 치환하면 (m=k−2)$=\sum _{m=0}^{n-2}\frac{n！}{m!\left(n-2-m\right)！}p^{m+2}q^{n-2-m}\ \ \ \ \ \ $=n−2∑m=0n!m！(n−2−m)!pm+2qn−2−m $=n\left(n-1\right)p^2\sum _{m=0}^{n-2}\frac{\left(n-2\right)！}{m!\left(n-2-m\right)！}p^mq^{n-2-m}$=n(n−1)p2n−2∑m=0(n−2)!m！(n−2−m)!pmqn−2−m$=n\left(n-1\right)p^2\left(p+q\right)^{n-2}\ \ \ \ \ \ \ \ \gets \left(p+q=1\right)$=n(n−1)p2(p+q)n−2 ←(p+q=1)$=n\left(n-1\right)p^2$=n(n−1)p2 먼저, E[X(X-1)] 식을 계산합시다。 $\normal{1}{E\left[X\left(X-1\right)\right]}$E[X(X−1)]$=\sum _{k=0}^nk\normal{1}{\left(\normal{0}{k}-1\right)\times P}\left(X=k\right)$=n∑k=0k(k−1)×P(X=k)$=\sum _{k=2}^nk\normal{1}{\left(\normal{0}{k}-1\right)\times P}\left(X=k\right)$=n∑k=2k(k−1)×P(X=k)$=\sum _{k=2}^nk\left(k-1\right)\combi{\times \ }_n\combi{\normal{1}{C}}_k\ p^kq^{n-k}$=n∑k=2k(k−1)× nCk pkqn−k$=\sum _{k=2}^nk\left(k-1\right)\times \frac{n！}{k!\left(n-k\right)！}p^kq^{n-k}$=n∑k=2k(k−1)×n!k!(n−k)!pkqn−k$=\sum _{k=2}^n\frac{n！}{\left(k-2\right)！\left(n-k\right)！}p^kq^{n-k}$=n∑k=2n!(k−2)!(n−k)!pkqn−k$\ \ \ \ \ 치환하면\ \left(m=k-2\right)$ 치환하면 (m=k−2)$=\sum _{m=0}^{n-2}\frac{n！}{m!\left(n-2-m\right)！}p^{m+2}q^{n-2-m}\ \ \ \ \ \ $=n−2∑m=0n!m！(n−2−m)!pm+2qn−2−m $=n\left(n-1\right)p^2\sum _{m=0}^{n-2}\frac{\left(n-2\right)！}{m!\left(n-2-m\right)！}p^mq^{n-2-m}$=n(n−1)p2n−2∑m=0(n−2)!m！(n−2−m)!pmqn−2−m$=n\left(n-1\right)p^2\left(p+q\right)^{n-2}\ \ \ \ \ \ \ \ \gets \left(p+q=1\right)$=n(n−1)p2(p+q)n−2 ←(p+q=1)$=n\left(n-1\right)p^2$=n(n−1)p2

이제, 이항분포의 분산V(X) 식을 유도합니다. $V\left(X\right)$V(X)$=左(X^2\right)- 左(Left)ですE\left(X\right)}\right\}^2$=E(X2)−{E(X)}2$=E\left[X\left(X-1\right)\right]+左(X\right)- 左(Left)ですE\left(X\right)}\right\}^2$=E[X(X−1)]+E(X)−{E(X)}2$=n\left(n-1\right)p^2+np-\left(np\right)^2$=n(n−1)p2+np−(np)2$=\ np-np^2$= np−np2$=np\left(1-p\right)$=np(1−p)$=npq$=npq 이제, 이항분포의 분산V(X) 식을 유도합니다. $V\left(X\right)$V(X)$=左(X^2\right)- 左(Left)ですE\left(X\right)}\right\}^2$=E(X2)−{E(X)}2$=E\left[X\left(X-1\right)\right]+左(X\right)- 左(Left)ですE\left(X\right)}\right\}^2$=E[X(X−1)]+E(X)−{E(X)}2$=n\left(n-1\right)p^2+np-\left(np\right)^2$=n(n−1)p2+np−(np)2$=\ np-np^2$= np−np2$=np\left(1-p\right)$=np(1−p)$=npq$=npq

 

Note: The standard deviation formula for this term distribution is as follows. $\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{npq}$σ(X)=√V(X)=√npq (Note) The standard deviation formula for this term distribution is. $\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{npq}$σ(X)=√V(X)=√npq

 

The following problem is an application problem that utilizes the definition of expectations and binomial theorem, such as the proof of expectations for binomial distributions. The following problem is an application problem that utilizes the definition of expectations and binomial theorem, such as the proof of expectations for binomial distributions.

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